萨顿假说的内容是图解，萨顿假说的推理方法

投稿用户 • 2023-02-22 10:14 • 历史趣闻 • 阅读 192

数学家之间最大的争论始于伯特兰·罗素 (Bertrand Russel) 的“不包含自身的所有集合的集合是否包含自身？” 问题。

虽然看似简单，但数学家们在回答这个问题时很快发现自己陷入了愚蠢的困境。当您考虑它时，一组非自包含的集合是一个集合，并且不包含自身。但是，然后，当我们将非自包含集合的集合添加到非自包含集合的集合时，就会发生逻辑错误。

我知道上面这听起来不可能，所以我将用一个例子来解释 Russel 的问题。想象一下成千上万的人在写书。一段时间后，这堆书会变得如此庞大，以至于必须有人对这些书进行分类。然而，更进一步，目录集群也将变得庞大，因为将有许多关于无数主题的书籍。例如，数学书籍目录、世界杯冠军故事目录、烹饪书目录等等。

1960 年，当保罗·哈尔莫斯 (Paul Halmos) 撰写他的《朴素集论》(Naive Set Theory)一书时，他使用了一个非常漂亮的书封面，它本身就包含在内。

现在，让我们想象一下，有人出来制作了一个不包含自己的目录目录。现在的问题是包含非自包含目录的目录册是否应该添加到目录中。如果我们不添加它，我们的目录将错过一本书。相反，如果我们将它添加到目录中，目录将不再是非自包含的，我们需要将其删除。这种情况将成为一个永无止境的不合逻辑问题的循环。这是因为非自包含目录的目录要求自己在目录中，同时又禁止自己在目录中，因为这两者不能同时成立，所以就产生了矛盾。现在这就是我们在数学和哲学中所说的“悖论”。

Bertrand Russell 的这个令人难以置信的悖论让人想起 Russell 的说谎人悖论之一。在这个悖论中，一个人四处说：“我总是说谎。” 虽然听起来很简单，但这句话本身就是一个悖论。因为如果这个人真的总是说谎，那么这句话就是真的，他就不再是一个总是说谎的人了。相反，如果这个人不是说谎者，那么他就是一个经常说谎的人，因为这句话就是谎言。从逻辑上讲，如果我们承认这个人是个骗子，那么他所说的一切并非都是谎言，但如果他值得信赖，那么这句话就是谎言。悖论的发生是因为一个人不能同时是一个彻头彻尾的说谎者和一个完全值得信赖的人。

然而，回到为什么罗素的问题会引起数学史上最长的辩论这个问题。这很简单。数学需要一个单一的真理，同时存在多个真理并且它们相互矛盾是数学家的噩梦。

当意大利数学家Guisseppe Peano引入集合论时，数学世界陷入了平静。集合的概念将许多数学思想联系起来，并将它们按必要的顺序排列。要么，一旦将数学置于秩序之中的概念将分崩离析，要么将其置于危险之中的问题将被完全解决。

德国著名数学家大卫希尔伯特认为他可以一劳永逸地解决这个烂摊子。他将继续用他的一生来证明数学是一门完全一致的学科，没有二元性的余地。他将通过创建一个名为希尔伯特程序的程序来做到这一点。 换句话说，他不是针对数学的某个特定部分，而是将数学作为一个整体来进行正面研究。

希尔伯特一劳永逸地想发现并确立使数学“机械化”的原理。他会称这个程序为元数学。如果希尔伯特成功了，任何数学方程式或难题都可以通过按下计算机上的按钮来解决。希尔伯特利用数学的基本原理设计了“所有正确的数学结果都可以从真实的数学中推导出来”的解决方案。

事实上，希尔伯特的目标很明确。他想把简单的逻辑规则吸收到数学中。例如，命题“所有的人都会死，苏格拉底是人；因此苏格拉底也会死”是一个像 2×3=6 这样简单的问题。这意味着两个逻辑命题 p 和 q 必须始终等于某物。换句话说，pxq = k。

就在这时，一位名叫库尔特·哥德尔的年轻数学家介入其中，彻底颠覆了数理逻辑的概念。在正常逻辑中，命题要么正确，要么不正确。例如，如果p是“人是马”的命题，q是“人不是马”的命题，那么p显然是不正确的，因为人确实不是马。相反的命题 q 必须为真，因为人不是马。

然而，哥德尔有不同的想法。“可能存在这样一个命题 p，p 和 q 都不正确，”他说。就像上面罗素的例子一样，数学世界被颠倒了，因为现在在曾经一致的“纯”数学中，现实生活中会出现不一致。换句话说，无论你造出多么强大的超级计算机，总会有一些问题是它无法解决的。

1936 年，艾伦·图灵(Alan Turing)闯了进来，证明了如果计算机遇到它无法解决的问题，它会永远努力解决它。

库尔特·哥德尔真的把大卫·希尔伯特搞砸了。1931 年哥德尔发表了他所有的作品后，大卫·希尔伯特用了一生的时间来证明他是错的。然而，要揭穿哥德尔的想法几乎是不可能的。以至于在 1936 年艾伦图灵和哥德尔会见计算机之父约翰冯诺依曼并向他解释他们的想法时，他将永远放弃数理逻辑的想法。

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