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如图所示,在凸五边形 ABCDE中.∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE。M为 CD 的中点.求证:AM⊥CD。
解析:1.因为M是CD的中点,
欲要证明AM⊥CD,
只需证明△ACD为等腰三角形,
再具体一些,
就是证明AC=AD,
如下图所示。
我们仔细观察题图,
不难发现,
AC与AD分别在△ABC和△AED中,
而且两三角形看起来是全等的。
如果我们能证明△ABC≌△AED,
问题即解。
2.现在的主要任务就是去证明△ABC≌△AED。
2.1我们从已知条件可知,
在△ABC和△AED中,
已有∠ABC=∠AED,
BC=DE,
现在还缺少一个条件,
从图可知,
如果能证明AB=AE,
就能满足边角边(SAS)的全等条件。
当然,
满足角边角(ASA)或角角边(AAS),
也是可行的。
2.2仔细挖掘已知条件,
由题意可知,∠C=∠D,
那么它们的补角也是相等的,
由图可知,
如果延长BC与ED,
使二者相交,并设交点为F,
则有∠DCF=∠CDF,
可知△CFD为等腰三角形,
如下图所示。
2.3因为△CFD为等腰三角形,
所以CF=DF,
又因为BC=ED,
所以BC+CF=ED+DF,
即BF=EF,
故△BFE为等腰三角形,
此时则有∠FBE=∠FEB。
致此,应该豁然开朗了,
因为∠B=∠E,
所以∠ABE=∠AED,
所以△BAE也为等腰三角形,
所以AB=AE,
所以△ABC≌△AED,
所以AC=AD,
所以AM⊥CD。
践行者:家有初中生,请多关注,一定会大有获益。
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